Cho hàm số...

Điều kiện $4x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le 4.$ Đặt $g\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+2m.$
Ta có $12+\sqrt{4x-{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;4 \right].$
Do đó đồ thị của hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương trình $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right].$
Ta có ${{x}^{2}}-6x+2m=0\Leftrightarrow -2m={{x}^{2}}-6x.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x,x\in \left[ 0;4 \right].$
Ta có
$f'\left( x \right)=2x-6;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên
Căn cứ bảng biến thiên ta thấy, phương trình $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;4 \right]$
$\Leftrightarrow -9<-2m\le -8\Leftrightarrow 4\le m<\dfrac{9}{2}.$
Thử lại: với $m=4$ hàm số trở thành
$y=\dfrac{12+\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}}$ và có tập xác định $D=\left[ 0;2 \right).$
Khi đó $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là $x=2.$
Như vậy $4<m<\dfrac{9}{2}$ là giá trị cần tìm.
Vậy không có giá trị nguyên nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.