Cho hàm số...

Cách 1: Ta có $g(x)=\left| f(x)-1 \right|=\sqrt{{{\left[ f(x)-1 \right]}^{2}}}$.
Suy ra ${g}'(x)=\dfrac{{f}'(x).\left[ f(x)-1 \right]}{\left| f(x)-1 \right|}$ ; $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ và ${g}'(x)$ không xác định khi $f(x)-1=0$.
+ Ta có ${f}'(x)=4({{m}^{4}}+1){{x}^{3}}+2(-{{2}^{m+1}}.{{m}^{2}}-4)x;{f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{{{2}^{m}}.{{m}^{2}}+2}{{{m}^{4}}+1} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra phương trình ${f}'(x)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt vì $\dfrac{{{2}^{m}}.{{m}^{2}}+2}{{{m}^{4}}+1}>0$ với mọi m.
+ Lại có $f(x)-1=({{m}^{4}}+1){{x}^{4}}-2({{2}^{m}}.{{m}^{2}}+2){{x}^{2}}+{{4}^{m}}+15>0$ vô nghiệm do
${\Delta }'={{\left( {{2}^{m}}.{{m}^{2}}+2 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{4}}-1 \right).\left( {{4}^{m}}+15 \right)$
$=\left( {{4}^{m}}.{{m}^{4}}+{{4.2}^{m}}.{{m}^{2}}+4 \right)-\left( {{m}^{4}}{{.4}^{m}}+15{{m}^{4}}+{{4}^{m}}+15 \right)={{4.2}^{m}}.{{m}^{2}}-15{{m}^{4}}-{{4}^{m}}-11$
$=-\left( {{4}^{m}}-{{4.2}^{m}}.{{m}^{2}}+4{{m}^{4}} \right)-11{{m}^{4}}-11=-{{\left( {{2}^{m}}-2{{m}^{2}} \right)}^{2}}-11{{m}^{4}}-11<0,\forall m$
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Cách 2: Hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị (do hệ số a và b trái dấu) $\Rightarrow f(x)-1$ cũng có 3 điểm cực trị, do đồ thị hàm số $y=f(x)-1$ thu được sau khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f(x)$ xuống dưới 1 đơn vị (theo phương Oy).
Phương trình $f(x)-1=0$ vô nghiệm (do đã giải thích ở trên).
Vậy hàm số $g(x)=\left| f(x)-1 \right|$ có 3 cực trị (áp dụng chú ý câu 4).