Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ ?
A. 4
B. 7
C. 6
D. Vô số
A. 4
B. 7
C. 6
D. Vô số
Ta có: $y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1\Rightarrow y'=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}}$
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g\left( x \right)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)$ có $g'\left( x \right)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right)$
Ta thấy $g'\left( x \right)=0$ có một nghiệm nên $g\left( x \right)=0$ có tối đa 2 nghiệm
TH1: Nếu $g\left( x \right)=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow m=3$ hoặc $m=-3$
Với $m=3$ thì $x=0$ là nghiệm bội 4 của $g\left( x \right)$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội 7 của y' và y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m=-3$ thì $g\left( x \right)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{15}{4}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT $x=0$ không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $g\left( 0 \right)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3$. Đề hàm số đạt cực tiểu tại $x=0\Leftrightarrow g\left( 0 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$
Vậy cả 2 trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g\left( x \right)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)$ có $g'\left( x \right)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right)$
Ta thấy $g'\left( x \right)=0$ có một nghiệm nên $g\left( x \right)=0$ có tối đa 2 nghiệm
TH1: Nếu $g\left( x \right)=0$ có nghiệm $x=0\Rightarrow m=3$ hoặc $m=-3$
Với $m=3$ thì $x=0$ là nghiệm bội 4 của $g\left( x \right)$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội 7 của y' và y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m=-3$ thì $g\left( x \right)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{15}{4}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT $x=0$ không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $g\left( 0 \right)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3$. Đề hàm số đạt cực tiểu tại $x=0\Leftrightarrow g\left( 0 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$
Vậy cả 2 trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.