Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{8}}+\left( m-1 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{4}}+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ ?
A. 3.
B. 2.
C. Vô số.
D. 1.
A. 3.
B. 2.
C. Vô số.
D. 1.
Ta có: ${y}'=8{{x}^{7}}+5\left( m-1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}={{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right){y}'=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$ có nghiệm $x=0$ thì ${{m}^{2}}-1=0\Rightarrow m=\pm 1$.
Khi $m=1$ thì ${y}'={{x}^{7}}$, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
Khi $m=-1$ thì ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 8{{x}^{4}}-10x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}} \\
\end{aligned} \right. $, nhưng $ x=0$ là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$ không có nghiệm $x=0$ nghĩa là ${{m}^{2}}-1\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 1$.
Khi đó ta có ${y}'={{x}^{2}}\left[ \underbrace{8{{x}^{5}}+5\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x}_{{g}'\left( x \right)} \right]$, vì ${{x}^{2}}\ge 0$ nên số lần đổi dấu của ${y}'$ bằng số lần đổi dấu của hàm ${g}'\left( x \right)$, do đó hàm số y đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)$ cũng đạt cực tiểu tại $x=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( 0 \right)=0 \\
& {g}''\left( 0 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Rightarrow -1<m<1\Rightarrow m=0$
Vậy có 2 giá trị nguyên của m.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$ có nghiệm $x=0$ thì ${{m}^{2}}-1=0\Rightarrow m=\pm 1$.
Khi $m=1$ thì ${y}'={{x}^{7}}$, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
Khi $m=-1$ thì ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 8{{x}^{4}}-10x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}} \\
\end{aligned} \right. $, nhưng $ x=0$ là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$ không có nghiệm $x=0$ nghĩa là ${{m}^{2}}-1\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 1$.
Khi đó ta có ${y}'={{x}^{2}}\left[ \underbrace{8{{x}^{5}}+5\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x}_{{g}'\left( x \right)} \right]$, vì ${{x}^{2}}\ge 0$ nên số lần đổi dấu của ${y}'$ bằng số lần đổi dấu của hàm ${g}'\left( x \right)$, do đó hàm số y đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)$ cũng đạt cực tiểu tại $x=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( 0 \right)=0 \\
& {g}''\left( 0 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Rightarrow -1<m<1\Rightarrow m=0$
Vậy có 2 giá trị nguyên của m.
Đáp án B.