Cho hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m-1$ có đồ thị (C). Trên đoạn...

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
${{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m-1=0 \left( 1 \right)$
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$ và $g\left( t \right)={{t}^{2}}-mt+m-1$
Khi đó phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-mt+m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=m-1. \\
\end{aligned} \right.$
(C) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
phương trình $g\left( t \right)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\left\{ \begin{aligned}
& m-1>0 \\
& m-1\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m\ne 2. \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\left[ -2019;2019 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3,4,...,2019 \right\}.$
Vậy có tất cả 2017 giá trị nguyên của tham số m.
Chú ý: Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị (C). (C) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt
phương trình $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt và các giá trị cực trị trái dấu.
Tức là (C) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a.b<0 \\
& {{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0. \\
\end{aligned} \right.$
Như vậy bài toán trên hoàn toàn được giải quyết bằng kiến thức về cực trị.