Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$, $m$ là tham số thực. Giả sử $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục $Ox$ và ${{S}_{3}}$ là diện tích hình phẳng nằm trên trục $Ox$ được tạo bởi $\left( {{C}_{m}} \right)$ với trục $Ox$. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\dfrac{a}{b}$ với ( $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản) để ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}={{S}_{3}}$. Giá trị $2a-b$ bằng:
A. $3$.
B. $-4$.
C. $6$.
D. $-2$.
A. $3$.
B. $-4$.
C. $6$.
D. $-2$.
Giả sử $u$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0$
hay ${{u}^{4}}-3{{u}^{2}}+m=0 \Leftrightarrow \ {{u}^{4}}-3{{u}^{2}}=-m\ \ \ (1)$
để ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}={{S}_{3}}$ thì $\int\limits_{0}^{u}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=0$ $\Leftrightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{u}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{5}}}{5}-{{u}^{3}}+mu=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}+m=0 (do u>0) \Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}=-m\ \ (2)$
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra ${{u}^{4}}-3{{u}^{2}}=\dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}\Leftrightarrow 5{{u}^{4}}-15{{u}^{2}}={{u}^{4}}-5{{u}^{2}}\Leftrightarrow 4{{u}^{4}}-10{{u}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 2{{u}^{2}}\left( 2{{u}^{2}}-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{u}^{2}}=0\ \ \left( L \right) \\
& {{u}^{2}}=\dfrac{5}{2}\ \ \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ m=\dfrac{5}{4}$ và theo giả thiết thì giá trị này là duy nhất
Vậy $a=5;\ b=4\Leftrightarrow 2a-b=6$
hay ${{u}^{4}}-3{{u}^{2}}+m=0 \Leftrightarrow \ {{u}^{4}}-3{{u}^{2}}=-m\ \ \ (1)$
để ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}={{S}_{3}}$ thì $\int\limits_{0}^{u}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=0$ $\Leftrightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{u}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{5}}}{5}-{{u}^{3}}+mu=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}+m=0 (do u>0) \Leftrightarrow \dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}=-m\ \ (2)$
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra ${{u}^{4}}-3{{u}^{2}}=\dfrac{{{u}^{4}}}{5}-{{u}^{2}}\Leftrightarrow 5{{u}^{4}}-15{{u}^{2}}={{u}^{4}}-5{{u}^{2}}\Leftrightarrow 4{{u}^{4}}-10{{u}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 2{{u}^{2}}\left( 2{{u}^{2}}-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{u}^{2}}=0\ \ \left( L \right) \\
& {{u}^{2}}=\dfrac{5}{2}\ \ \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ m=\dfrac{5}{4}$ và theo giả thiết thì giá trị này là duy nhất
Vậy $a=5;\ b=4\Leftrightarrow 2a-b=6$
Đáp án C.