Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của $\left( C \right)$ đi qua gốc tọa độ $O$ ?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị $\left( C \right)$ là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3x_{0}^{2}+2m{{x}_{0}}+m$
Ta có $-3x_{0}^{2}+2m{{x}_{0}}+m=-3\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}.\dfrac{m}{3}+\dfrac{{{m}^{2}}}{9} \right)+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$
$=-3{{\left( {{x}_{0}}-\dfrac{m}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m\le \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$ vì $-3{{\left( {{x}_{0}}-\dfrac{m}{3} \right)}^{2}}\le 0;\forall m$
Suy ra ${{k}_{\max }}=\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{0}}=\dfrac{m}{3}$
Do đó, phương trình tiếp tuyến là
$y-{{y}_{0}}=k\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right).\left( x-\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{4{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1$
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $O\left( 0;0 \right)$
$\Rightarrow 0=-\dfrac{m}{3}.\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)+\dfrac{4{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1\Leftrightarrow m=-3$.
Ta có $-3x_{0}^{2}+2m{{x}_{0}}+m=-3\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}.\dfrac{m}{3}+\dfrac{{{m}^{2}}}{9} \right)+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$
$=-3{{\left( {{x}_{0}}-\dfrac{m}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m\le \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$ vì $-3{{\left( {{x}_{0}}-\dfrac{m}{3} \right)}^{2}}\le 0;\forall m$
Suy ra ${{k}_{\max }}=\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{0}}=\dfrac{m}{3}$
Do đó, phương trình tiếp tuyến là
$y-{{y}_{0}}=k\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right).\left( x-\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{4{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1$
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $O\left( 0;0 \right)$
$\Rightarrow 0=-\dfrac{m}{3}.\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)+\dfrac{4{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1\Leftrightarrow m=-3$.
Đáp án C.