Cho hàm số $y=x^3-3x^2-mx+2$ với $m$ là tham số thực...

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-m.$
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\iff$ phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=9+3m>0\iff m>-3.$
Ta có $y=y^{\prime }.({\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}})-({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2)x+2-{\displaystyle \frac{m}{3}}.$
$\stackrel{}{\to }$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\mathrm{\Delta }:y=-({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2)x+2-{\displaystyle \frac{m}{3}}.$
Đường thẳng $d:x+4y-5=0$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_d=(1;4).$
Đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=-({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2)x+2-{\displaystyle \frac{m}{3}}$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}=({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2;1).$
Ycbt $\stackrel{}{⟷}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\cos {45}^0=\text{cos}(d,\mathrm{\Delta })=\left|\text{cos}({\overrightarrow{n}}_d,{\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }})\right|={\displaystyle \frac{|1.({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2)+4.1|}{\sqrt{1^2+4^2}.\sqrt{{({\displaystyle \frac{2m}{3}}+2)}^2+1^2}}}$
$\stackrel{}{⟷}60m^2+264m+117=0\iff [\begin{array}{rl}& m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & m=-{\displaystyle \frac{39}{10}}\end{array}\stackrel{m>-3}{\to }m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}:$ thỏa mãn.