Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng $d:x+4y-5=0$ một góc $\alpha ={{45}^{0}}.$
A. $m=-\dfrac{1}{2}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}.$
C. $m=0.$
D. $m=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
A. $m=-\dfrac{1}{2}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}.$
C. $m=0.$
D. $m=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-m.$
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=9+3m>0\Leftrightarrow m>-3.$
Ta có $y={y}'.\left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3} \right)-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}.$
$\xrightarrow{{}}$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\Delta :y=-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}.$
Đường thẳng $d:x+4y-5=0$ có một VTPT là ${{\vec{n}}_{d}}=\left( 1;4 \right).$
Đường thẳng $\Delta :y=-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}$ có một VTPT là ${{\vec{n}}_{\Delta }}=\left( \dfrac{2m}{3}+2;1 \right).$
Ycbt $\overset{{}}{\longleftrightarrow}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos {{45}^{0}}=\text{cos}\left( d,\Delta \right)=\left| \text{cos}\left( {{{\vec{n}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{\Delta }} \right) \right|=\dfrac{\left| 1.\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)+4.1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}$
$\overset{{}}{\longleftrightarrow}60{{m}^{2}}+264m+117=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{39}{10}~ \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m>-3}m=-\dfrac{1}{2}:$ thỏa mãn.
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=9+3m>0\Leftrightarrow m>-3.$
Ta có $y={y}'.\left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3} \right)-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}.$
$\xrightarrow{{}}$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\Delta :y=-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}.$
Đường thẳng $d:x+4y-5=0$ có một VTPT là ${{\vec{n}}_{d}}=\left( 1;4 \right).$
Đường thẳng $\Delta :y=-\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)x+2-\dfrac{m}{3}$ có một VTPT là ${{\vec{n}}_{\Delta }}=\left( \dfrac{2m}{3}+2;1 \right).$
Ycbt $\overset{{}}{\longleftrightarrow}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos {{45}^{0}}=\text{cos}\left( d,\Delta \right)=\left| \text{cos}\left( {{{\vec{n}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{\Delta }} \right) \right|=\dfrac{\left| 1.\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)+4.1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{\left( \dfrac{2m}{3}+2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}$
$\overset{{}}{\longleftrightarrow}60{{m}^{2}}+264m+117=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{39}{10}~ \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m>-3}m=-\dfrac{1}{2}:$ thỏa mãn.
Đáp án A.