Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2}

có đồ thị (C) và điểm

M (m; - 4)

.Hỏi có bao nhiên số nguyên m thuộc đoạn

[- 10; 10]

sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C)?
A. 20
B. 15
C. 17
D. 12

Gọi

A (a; a^{3} - 3 a^{2}) \in (C)

ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là

y = (3 a^{2} - 6 a) (x - a) + a^{3} - 3 a^{2} (d)

Để d đi qua điểm

M (m; - 4)

thì

- 4 = (3 a^{2} - 6 a) (m - a) + a^{3} - 3 a^{2}

\Leftrightarrow (a^{3} - 3 a^{2} + 4) + 3 a (a - 2) (m - a) = 0 \Leftrightarrow (a - 2) (a^{2} - a - 2) + (a - 2) (3 m a - 3 a^{2}) = 0

\Leftrightarrow (a - 2) [- 2 a^{2} + (3 m - 1) a - 2] = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 2 \\ g (a) = 2 a^{2} - (3 m - 1) a + 2 = 0 \end{aligned}

Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến

(C) \Leftrightarrow g (a) = 0

có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\Leftrightarrow {\begin{aligned} ^{\circ} = {(3 m - 1)}^{2} - 16 > 0 \\ g (2) = 12 - 6 m \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} 3 m - 1 > 4 \\ 3 m - 1 < - 4 \end{aligned} \\ m \neq 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} m > \frac{5}{3} \\ m < - 1 \end{aligned} \\ m \neq 2 \end{aligned}

Kết hợp

{\begin{aligned} m \in Z \\ m \in [- 10; 10] \end{aligned} \Rightarrow

có 17 giá trị của m .

Đáp án C.

Cho hàm số y=x3−3x2 có đồ thị (C) và điểm $M\left(...