Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ (1) và đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y-m-2 \right)}^{2}}=20$. Biết rằng có hai giá trị ${{m}_{1}},{{m}_{2}}$ của tham số $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$. Tính tổng ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}.$
A. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0$.
B. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=10.$
C. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=8.$
D. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-4.$
A. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0$.
B. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=10.$
C. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=8.$
D. ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-4.$
Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}-6x$ và $y=\left( \dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{3} \right){y}'+2x+4$, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y=2x+4\Leftrightarrow 2x-y+4=0\left( \Delta \right)$.
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( m;m+2 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ khi và chỉ khi
$d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-m-2+4 \right|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| m+2 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-12 \\
& m=8 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-4.$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( m;m+2 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ khi và chỉ khi
$d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-m-2+4 \right|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| m+2 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-12 \\
& m=8 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-4.$
Đáp án D.