Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2019\text{x}$ có đồ thị (C). Gọi ${{M}_{1}}$ là điểm trên (C) có hoành độ ${{x}_{1}}=1.$ Tiếp tuyến của (C) tại ${{M}_{1}}$ cắt (C) tại ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ khác ${{M}_{1}}$, tiếp tuyến của (C) tại ${{M}_{2}}$ cắt (C) tại ${{M}_{3}}\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)$ khác ${{M}_{2}}$, tiếp tuyến của (C) tại ${{M}_{n-1}}$ cắt (C) tại ${{M}_{n}}\left( {{x}_{n}};{{y}_{n}} \right)$ khác ${{M}_{n-1}}\left( n=4,5,.... \right).$ Tìm n sao cho $2019{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{2}^{2019}}=0.$
A. n = 673.
B. n = 674.
C. n = 675.
D. n = 682.
A. n = 673.
B. n = 674.
C. n = 675.
D. n = 682.
Tiếp tuyến của (C) tại ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ có phương trình dạng $\left( {{d}_{1}} \right):y=\left( 3x_{1}^{2}-2019 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và (C):
${{x}^{3}}-2019x=\left( 3x_{1}^{2}-2019 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-2019{{x}_{1}}$ (phương trình này có nghiệm kép $x={{x}_{1}}$ ).
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x_{1}^{2}x+2x_{1}^{3}=0\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}=1 \\
& x=-2{{x}_{1}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}_{2}}=-2.$
Tương tự ${{x}_{3}}=-2{{x}_{2}}={{\left( -2 \right)}^{2}}{{x}_{1}};{{x}_{4}}=-2{{x}_{3}}={{\left( -2 \right)}^{3}}{{x}_{1}};....;{{x}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}.$
Do đó $2019{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{2}^{2019}}=0\Leftrightarrow 2019{{x}_{n}}+\left( x_{n}^{3}-2019{{x}_{n}} \right)+{{2}^{2019}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}} \right]}^{3}}={{2}^{2019}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3n-3=2019 \\
& n-1=2k,k\in \mathbb{N} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=674.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và (C):
${{x}^{3}}-2019x=\left( 3x_{1}^{2}-2019 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{3}-2019{{x}_{1}}$ (phương trình này có nghiệm kép $x={{x}_{1}}$ ).
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x_{1}^{2}x+2x_{1}^{3}=0\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}=1 \\
& x=-2{{x}_{1}}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}_{2}}=-2.$
Tương tự ${{x}_{3}}=-2{{x}_{2}}={{\left( -2 \right)}^{2}}{{x}_{1}};{{x}_{4}}=-2{{x}_{3}}={{\left( -2 \right)}^{3}}{{x}_{1}};....;{{x}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}{{x}_{1}}={{\left( -2 \right)}^{n-1}}.$
Do đó $2019{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{2}^{2019}}=0\Leftrightarrow 2019{{x}_{n}}+\left( x_{n}^{3}-2019{{x}_{n}} \right)+{{2}^{2019}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( -2 \right)}^{n-1}} \right]}^{3}}={{2}^{2019}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3n-3=2019 \\
& n-1=2k,k\in \mathbb{N} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=674.$
Đáp án B.