Cho hàm số $y = x^{2}$ có đồ thị $(C)$ , biết rằng...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = x^{2}

có đồ thị

(C)

, biết rằng tồn tại hai điểm

A

,

B

thuộc đồ thị

(C)

sao cho tiếp tuyến tại

A

,

B

và đường thẳng pháp tuyến của hai tiếp tuyến đó tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi

S_{1}

là diện tích giới hạn bởi đồ thị

(C)

và hai tiếp tuyến,

S_{2}

là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi các tiếp tuyến và pháp tuyến tại

A, B

. Tính tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

?
A.

\frac{1}{6}

.
B.

\frac{1}{3}

.
C.

\frac{125}{768}

.
D.

\frac{125}{128}

.

Đặt

A (a; a^{2})

và

B (b; b^{2})

Không mất tính tổng quát, ta xét

a > 0

và

b < 0

(d_{1})

là đường tiếp tuyến với

(C)

tại

A

và

(d_{2})

là đường tiếp tuyến với

(C)

tại

B

\Rightarrow {\begin{matrix} (d_{1}) : y = 2 a x - a^{2} \\ (d_{2}) : y = 2 b x - b^{2} \end{matrix}

Do

(d_{1}) ⊥ (d_{2})

nên

k_{(d_{1})} . k_{(d_{2})} = - 1 \Leftrightarrow (2 a) . (2 b) = - 1 \Rightarrow b = \frac{- 1}{4 a} \Rightarrow B (\frac{- 1}{4 a}; \frac{1}{16 a^{2}})

\Rightarrow (d_{2}) : y = \frac{- x}{2 a} - \frac{1}{16 a^{2}}

. Mặt khác:

d_{1} \cap d_{2}

tại

E (\frac{4 a^{2} - 1}{8 a}; \frac{- 1}{4})

\Rightarrow

Chiều dài

D = \frac{\sqrt{{(4 a^{2} + 1)}^{3}}}{8 a}

và chiều rộng

R = \frac{\sqrt{{(4 a^{2} + 1)}^{3}}}{16 a^{2}}

Mà

D = 2. R \Rightarrow a = 1 \Rightarrow S_{2} = \frac{{(4 a^{2} + 1)}^{3}}{128 a^{3}} = \frac{125}{128}

và suy ra

\Rightarrow {\begin{aligned} (d_{1}) : y = 2 x - 1 \\ (d_{2}) : y = \frac{- x}{2} - \frac{1}{16} \end{aligned}

Với

a = 1

suy ra

E (\frac{4 a^{2} - 1}{8 a}; \frac{- 1}{4})

có tọa độ

E (\frac{3}{8}; - \frac{1}{4})

.
Suy ra

S_{1} = \int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{3}{8}} [x^{2} - (\frac{- x}{2} - \frac{1}{16})] d x + \int_{\frac{3}{8}}^{1} [x^{2} - (2 x - 1)] d x = \frac{125}{768}

Như vậy tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{125}{768} . \frac{128}{125} = \frac{128}{768} = \frac{1}{6}

Đáp án A.

Cho hàm số $y = x^{2}$ có đồ thị $(C)$ , biết rằng...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho hàm số y=x2 có đồ thị (C), biết rằng...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Cho hàm số $y = x^{2}$ có đồ thị $(C)$ , biết rằng...