Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=u\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;5 \right]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}=m.u\left( x \right)$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;5 \right]$ ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Ta có
$\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}=m.u\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}=m$
Từ bảng biến thiên ta có $u\left( 3 \right)=1\le u\left( x \right)\le 4=u\left( 0 \right)$ với mọi $x\in \left[ 0;5 \right]$
Xét hàm $f\left( x \right)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên $\left[ 0;5 \right]$, ta được $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\in \left[ 0;5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\sqrt{10} \\
& \underset{x\in \left[ 0;5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $\dfrac{\sqrt{10}}{4}\le \dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}\le 5$
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{10}}{4}\le m\le 5$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$
$\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}=m.u\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}=m$
Từ bảng biến thiên ta có $u\left( 3 \right)=1\le u\left( x \right)\le 4=u\left( 0 \right)$ với mọi $x\in \left[ 0;5 \right]$
Xét hàm $f\left( x \right)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên $\left[ 0;5 \right]$, ta được $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\in \left[ 0;5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\sqrt{10} \\
& \underset{x\in \left[ 0;5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $\dfrac{\sqrt{10}}{4}\le \dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}\le 5$
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{10}}{4}\le m\le 5$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$
Đáp án C.