Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\ln (x+a)$ và $y=e^{x+a}$ có đồ thị lần lượt là $(C)$ và $\left(C^{\prime}\right)$ với $a$ là tham số thực. Giả sử điểm $M \in(C)$ và $N \in\left(C^{\prime}\right)$ sao cho tam giác $I M N$ là tam giác đều với điểm $I(-a ; 0)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để hoành độ của điểm $M$ và $N$ đồng thời thỏa mãn bất phương trình $\left|\ln (x+a)-a \cdot \mathrm{e}^{x+a}\right| \leq 10$
A. 20 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 11 .
Điều kiện xác định của bất phương trình $\left|\ln (x+a)-a \cdot \mathrm{e}^{x+a}\right| \leq 10$ là $x+a>0$.
Nhận xét: Đồ thị $(C)$ và $\left(C^{\prime}\right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta: y=x+a$ và $I(-a ; 0) \in \Delta$.
Lại có: $M \in(C), N \in\left(C^{\prime}\right)$, tam giác $I M N$ đều
Suy ra $M, N$ đối xứng nhau qua $\Delta$ và $(\widehat{I M, \Delta})=(\widehat{I N, \Delta})=30^{\circ}$.
Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k_{\Delta}=1\left(=\tan 45^{\circ}\right)$ cho nên có hai đường thẳng đi qua $I(-a ; 0)$ và tạo với $\Delta$ góc $30^{\circ}$ là đường thẳng $d$ có hệ số góc $k_d=\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$ và đường thẳng $d^{\prime}$ có hệ số góc $k_{d^{\prime}}=\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}$.
Ta được phương trình đường thẳng $d: y=(2-\sqrt{3})(x+a)$ và phương trình đường thẳng $d^{\prime}: y=$ $(2+\sqrt{3})(x+a)$
Dễ thấy: $d$ không cắt $\left(C^{\prime}\right)$ và $d^{\prime}$ không cắt $(C)$.
Khi đó: $M$ là giao điểm của $d$ và $(C), N$ là giao điểm của $d^{\prime}$ và $\left(C^{\prime}\right)$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ :
$
\ln (x+a)=(2-\sqrt{3})(x+a) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x+a=t_1 \approx 1,5(\text { tháa §KX§) } \\
x+a=t_2 \approx 7,5(\text { tháa §KX§) }
\end{array}\right.
$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d^{\prime}$ và $\left(C^{\prime}\right)$ :
$
\mathrm{e}^{x+a}=(2+\sqrt{3})(x+a) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x+a=k_1 \approx 0,4(\text { tháa } § K X \S) \\
x+a=k_2 \approx 2,02(\text { tháa } \S K X \S)
\end{array} .\right.
$
Từ đồ thị hàm số, dễ thấy:
+) Tam giác $I M_1 N_1$ đều với $M_1$ có hoành độ thỏa $x_{M_1}+a=t_1$ và $N_1$ có hoành độ thỏa $x_{N_1}+a=$ $k_1$.
+) Tam giác $I M_2 N_2$ đều với $M_2$ có hoành độ thỏa $x_{M_2}+a=t_2$ và $N_2$ có hoành độ thỏa $x_{N_2}+a=$ $k_5$.
Trường hợp 1: Với tam giác $I M_1 N_1$ đều
$
\text { Yêu cầu bài toán } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ | \operatorname { l n } t _ { 1 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { t _ { 1 } } | \leq 1 0 } \\
{ | \operatorname { l n } k _ { 1 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { k _ { 1 } } | \leq 1 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-2,16 \leq a \leq 2,34 \\
-7,3 \leq a \leq 6,1
\end{array} \Rightarrow a \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2\}\right.\right. \text {. }
$
Trường hợp 2: Với tam giác $I M_2 N_2$ đều
$
\text { Yêu cầu bài toán } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ | \operatorname { l n } t _ { 2 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { t _ { 2 } } | \leq 1 0 } \\
{ | \operatorname { l n } k _ { 2 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { k _ { 2 } } | \leq 1 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-0,004 \leq a \leq 0,006 \\
-1,06 \leq a \leq 1,6
\end{array} \Rightarrow a=0\right.\right. \text {. }
$
Vậy có 5 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. 20 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 11 .
Nhận xét: Đồ thị $(C)$ và $\left(C^{\prime}\right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta: y=x+a$ và $I(-a ; 0) \in \Delta$.
Lại có: $M \in(C), N \in\left(C^{\prime}\right)$, tam giác $I M N$ đều
Suy ra $M, N$ đối xứng nhau qua $\Delta$ và $(\widehat{I M, \Delta})=(\widehat{I N, \Delta})=30^{\circ}$.
Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k_{\Delta}=1\left(=\tan 45^{\circ}\right)$ cho nên có hai đường thẳng đi qua $I(-a ; 0)$ và tạo với $\Delta$ góc $30^{\circ}$ là đường thẳng $d$ có hệ số góc $k_d=\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$ và đường thẳng $d^{\prime}$ có hệ số góc $k_{d^{\prime}}=\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}$.
Ta được phương trình đường thẳng $d: y=(2-\sqrt{3})(x+a)$ và phương trình đường thẳng $d^{\prime}: y=$ $(2+\sqrt{3})(x+a)$
Dễ thấy: $d$ không cắt $\left(C^{\prime}\right)$ và $d^{\prime}$ không cắt $(C)$.
Khi đó: $M$ là giao điểm của $d$ và $(C), N$ là giao điểm của $d^{\prime}$ và $\left(C^{\prime}\right)$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ :
$
\ln (x+a)=(2-\sqrt{3})(x+a) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x+a=t_1 \approx 1,5(\text { tháa §KX§) } \\
x+a=t_2 \approx 7,5(\text { tháa §KX§) }
\end{array}\right.
$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d^{\prime}$ và $\left(C^{\prime}\right)$ :
$
\mathrm{e}^{x+a}=(2+\sqrt{3})(x+a) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x+a=k_1 \approx 0,4(\text { tháa } § K X \S) \\
x+a=k_2 \approx 2,02(\text { tháa } \S K X \S)
\end{array} .\right.
$
Từ đồ thị hàm số, dễ thấy:
+) Tam giác $I M_1 N_1$ đều với $M_1$ có hoành độ thỏa $x_{M_1}+a=t_1$ và $N_1$ có hoành độ thỏa $x_{N_1}+a=$ $k_1$.
+) Tam giác $I M_2 N_2$ đều với $M_2$ có hoành độ thỏa $x_{M_2}+a=t_2$ và $N_2$ có hoành độ thỏa $x_{N_2}+a=$ $k_5$.
Trường hợp 1: Với tam giác $I M_1 N_1$ đều
$
\text { Yêu cầu bài toán } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ | \operatorname { l n } t _ { 1 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { t _ { 1 } } | \leq 1 0 } \\
{ | \operatorname { l n } k _ { 1 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { k _ { 1 } } | \leq 1 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-2,16 \leq a \leq 2,34 \\
-7,3 \leq a \leq 6,1
\end{array} \Rightarrow a \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2\}\right.\right. \text {. }
$
Trường hợp 2: Với tam giác $I M_2 N_2$ đều
$
\text { Yêu cầu bài toán } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ | \operatorname { l n } t _ { 2 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { t _ { 2 } } | \leq 1 0 } \\
{ | \operatorname { l n } k _ { 2 } - a \cdot \mathrm { e } ^ { k _ { 2 } } | \leq 1 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-0,004 \leq a \leq 0,006 \\
-1,06 \leq a \leq 1,6
\end{array} \Rightarrow a=0\right.\right. \text {. }
$
Vậy có 5 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.