Cho hàm số $y=|x^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^2+6x-3+m|$. Tổng...

Xét hàm số $f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^2+6x-3+m$ liên tục trên đoạn [0 ; 3].
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-9x+60\iff [\begin{array}{l}x=1\in [0;3]\\ x=2\in [0;3]\end{array}$.
Ta lại có: $f(0)=m-3;f(1)=m-{\displaystyle \frac{1}{2}};f(2)=m-1;f(3)=m+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Khi đó: $\{\begin{array}{l}\underset{[0;3]}{min}f(x)=m-3\\ \underset{[0;3]}{max}f(x)=m+{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$.
TH1: $(m+{\displaystyle \frac{3}{2}}).(m-3)\le 0$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ trên đoạn [0 ; 3] là 0 .
TH2: $(m+{\displaystyle \frac{3}{2}}).(m-3)>0$.
Khi đó: ${\displaystyle \frac{|(m+{\displaystyle \frac{3}{2}})+(m-3)|-|(m+{\displaystyle \frac{3}{2}})-(m-3)|}{2}}\ge 5\iff [\begin{array}{l}m\ge 8\\ m\le -{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}$
Mà $\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in [-10;10]\end{array}\Rightarrow m=\{-10;-9;-8;-7;8;9;10\}$.
Vậy tổng các giá trị $m$ cần tìm là -7 .
Tìm tham số để $\underset{{}_{[\alpha ;\beta ]}}{min}|f(x)|\ge a$.
Phương pháp:
Tìm $\{\begin{array}{l}\underset{{}_{[\alpha ;\beta ]}}{min}f(x)=m\\ \underset{{}_{[\alpha ;\beta ]}}{max}f(x)=M\end{array}(M>m)$.
Suy ra: $\underset{{}_{[\alpha ;\beta ]}}{min}|f(x)|={\displaystyle \frac{|M+m|-|M-m|}{2}}$ (khi $m.M>0$ ) hoặc $\underset{{}_{[\alpha ;\beta ]}}{min}|f(x)|=0$ (khi $m.M\le 0)$ ).
Do đó ta có 2 trường hợp:
TH 1: Khi $m.M\le 0$ thì $0\ge a$.
TH 2: Khi $m.M>0$ thì ${\displaystyle \frac{|M+m|-|M-m|}{2}}\ge a$