Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left|x^{3}-\dfrac{9}{2} x^{2}+6 x-3+m\right|$. Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10 ; 10]$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0 ; 3] không bé hơn 5.
A. 1.
B. $-1$.
C. $0.$
D. $-7.$
A. 1.
B. $-1$.
C. $0.$
D. $-7.$
Xét hàm số $f(x)=x^{3}-\dfrac{9}{2} x^{2}+6 x-3+m$ liên tục trên đoạn [0 ; 3].
Ta có ${f}'(x)=3{{x}^{2}}-9x+60\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1\in [0;3] \\
x=2\in [0;3] \\
\end{array} \right.$.
Ta lại có: $f(0)=m-3 ; f(1)=m-\dfrac{1}{2} ; f(2)=m-1 ; f(3)=m+\dfrac{3}{2}$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f(x)=m-3 \\
\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f(x)=m+\dfrac{3}{2} \\
\end{array} \right.$.
TH1: $\left( m+\dfrac{3}{2} \right).(m-3)\le 0$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ trên đoạn [0 ; 3] là 0 .
TH2: $\left( m+\dfrac{3}{2} \right).(m-3)>0$.
Khi đó: $\dfrac{\left|\left(m+\dfrac{3}{2}\right)+(m-3)\right|-\left|\left(m+\dfrac{3}{2}\right)-(m-3)\right|}{2} \geq 5 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \geq 8 \\ m \leq-\dfrac{13}{2}\end{array}\right.$
Mà $\left\{\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-10 ; 10]\end{array} \Rightarrow m=\{-10 ;-9 ;-8 ;-7 ; 8 ; 9 ; 10\}\right.$.
Vậy tổng các giá trị $m$ cần tìm là -7 .
Tìm tham số để $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|\ge a$.
Phương pháp:
Tìm $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} f(x)=m \\
\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\max }} f(x)=M \\
\end{array}(M>m) \right.$.
Suy ra: $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}$ (khi $m.M>0$ ) hoặc $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=0$ (khi $m . M \leq 0)$ ).
Do đó ta có 2 trường hợp:
TH 1: Khi $m.M\le 0$ thì $0 \geq a$.
TH 2: Khi $m.M>0$ thì $\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}\ge a$
Ta có ${f}'(x)=3{{x}^{2}}-9x+60\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1\in [0;3] \\
x=2\in [0;3] \\
\end{array} \right.$.
Ta lại có: $f(0)=m-3 ; f(1)=m-\dfrac{1}{2} ; f(2)=m-1 ; f(3)=m+\dfrac{3}{2}$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f(x)=m-3 \\
\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f(x)=m+\dfrac{3}{2} \\
\end{array} \right.$.
TH1: $\left( m+\dfrac{3}{2} \right).(m-3)\le 0$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ trên đoạn [0 ; 3] là 0 .
TH2: $\left( m+\dfrac{3}{2} \right).(m-3)>0$.
Khi đó: $\dfrac{\left|\left(m+\dfrac{3}{2}\right)+(m-3)\right|-\left|\left(m+\dfrac{3}{2}\right)-(m-3)\right|}{2} \geq 5 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \geq 8 \\ m \leq-\dfrac{13}{2}\end{array}\right.$
Mà $\left\{\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-10 ; 10]\end{array} \Rightarrow m=\{-10 ;-9 ;-8 ;-7 ; 8 ; 9 ; 10\}\right.$.
Vậy tổng các giá trị $m$ cần tìm là -7 .
Tìm tham số để $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|\ge a$.
Phương pháp:
Tìm $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} f(x)=m \\
\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\max }} f(x)=M \\
\end{array}(M>m) \right.$.
Suy ra: $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}$ (khi $m.M>0$ ) hoặc $\underset{_{[\alpha ;\beta ]}}{\mathop{\min }} \left| f(x) \right|=0$ (khi $m . M \leq 0)$ ).
Do đó ta có 2 trường hợp:
TH 1: Khi $m.M\le 0$ thì $0 \geq a$.
TH 2: Khi $m.M>0$ thì $\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}\ge a$
Đáp án D.