Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+3mx\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|$ với $m$ là tham số thực Đồ thị của hàm số đã cho có tối đa bao nhiêu cực trị?
A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $4$.
A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $4$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3mx\sqrt{{{x}^{2}}+1}$
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có tối đa số điểm cực trị $\Leftrightarrow pt f\left( x \right)=0$ có tối đa số nghiệm.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 3m=-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có tối đa số nghiệm.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\to {g}'\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{3}}-2x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$, cho ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=0$.
Từ BBT ta suy ra pt (1) có tối đa 2 nghiệm.
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ có tối đa 3 nghiệm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có tối đa 5 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có tối đa số điểm cực trị $\Leftrightarrow pt f\left( x \right)=0$ có tối đa số nghiệm.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 3m=-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có tối đa số nghiệm.
Xét hàm số $g\left( x \right)=-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\to {g}'\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{3}}-2x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$, cho ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=0$.
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ có tối đa 3 nghiệm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có tối đa 5 điểm cực trị.
Đáp án C.