Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+2x+a-4 \right|$. Giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất là
A. $a=3$.
B. $a=2$.
C. $a=1$.
D. $a=0$.
A. $a=3$.
B. $a=2$.
C. $a=1$.
D. $a=0$.
Ta có $y=\left| {{x}^{2}}+2x+a-4 \right|=\left| {{\left( x+1 \right)}^{2}}+a-5 \right|$. Đặt $u={{\left( x+1 \right)}^{2}}$ khi đó $\forall x\in \left[ -2;1 \right]$ thì $u\in \left[ 0;4 \right]$.
Khi đó $\underset{x\in \left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=\underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right),f\left( 4 \right) \right\}=\max \left\{ \left| a-5 \right|;\left| a-1 \right| \right\}$.
+ Trường hợp 1: $\left| a-5 \right|\ge \left| a-1 \right|\Leftrightarrow a\le 3\Rightarrow \underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=5-a\ge 2\Leftrightarrow a=3$.
+ Trường hợp 2: $\left| a-5 \right|\le \left| a-1 \right|\Leftrightarrow a\ge 3\Rightarrow \underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=a-1\ge 2\Leftrightarrow a=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\underset{x\in \left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=2\Leftrightarrow a=3$.
Khi đó $\underset{x\in \left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=\underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right),f\left( 4 \right) \right\}=\max \left\{ \left| a-5 \right|;\left| a-1 \right| \right\}$.
+ Trường hợp 1: $\left| a-5 \right|\ge \left| a-1 \right|\Leftrightarrow a\le 3\Rightarrow \underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=5-a\ge 2\Leftrightarrow a=3$.
+ Trường hợp 2: $\left| a-5 \right|\le \left| a-1 \right|\Leftrightarrow a\ge 3\Rightarrow \underset{u\in \left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=a-1\ge 2\Leftrightarrow a=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\underset{x\in \left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=2\Leftrightarrow a=3$.
Đáp án A.