Cho hàm số $y=\left| 12{{x}^{5}}-\left( 15m+30...

Đặt $f\left( x \right)=12{{x}^{5}}-\left( 15m+30 \right){{x}^{4}}+20{{x}^{3}}-30\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right){{x}^{2}}+120\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2023+m$.
${f}'\left( x \right)=60{{x}^{4}}-60\left( m+2 \right){{x}^{3}}+60{{x}^{2}}-60\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)x+120\left( {{m}^{2}}+1 \right)$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( -2m+1 \right)x-{{m}^{2}}-1=0. \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ đồng biến trên $\left( 1; 3 \right)$ suy ra $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1; 3 \right)$ hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$
$\Rightarrow $ $x=2$ không là cực trị của hàm số $f\left( x \right)$
$\Rightarrow x=2$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
*Điều kiện cần:
$x=2$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$
$8-4m-4m+2-{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}-8m+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-9. \\
\end{aligned} \right.$
*Điều kiện đủ:
Với $m=1$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=60{{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)=2251>0 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra hàm số $ y=\left| f\left( x \right) \right| $ đồng biến trên $ \left( 1; 3 \right)$.
Vớ $m=-9$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=60{{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+11x+41 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)=8391>0 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra hàm số $ y=\left| f\left( x \right) \right| $ đồng biến trên $ \left( 1; 3 \right)$.
Vây $m=1; m=-9$ nên có 2 giá trị nguyên thoả mãn.