Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=g(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a,b,c\in \mathbb{R})$ cắt nhau tại 4 điểm có hoành độ lần lượt là $-5,-2,0,3$. Chia hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho thành 3 miền ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ (như hình vẽ). Biết diện tích ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ lần lượt là m, n, p. Tính tích phân $I=\int\limits_{-5}^{3}{f(x)d\text{x}}$.
A. $m-n+p-\dfrac{108}{35}$
B. $m-n+p+\dfrac{108}{35}$
C. $m-n+p-\dfrac{208}{45}$
D. $m-n+p+\dfrac{208}{45}$
A. $m-n+p-\dfrac{108}{35}$
B. $m-n+p+\dfrac{108}{35}$
C. $m-n+p-\dfrac{208}{45}$
D. $m-n+p+\dfrac{208}{45}$
Đồ thị hàm số $y=g(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ qua các điểm $A(-5;2),O(0;0),B(3;2)$ ta có hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& 25\text{a}-5b+c=2 \\
& c=0 \\
& 9a+3b+c=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{15} \\
& b=\dfrac{4}{15} \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=g(x)=\dfrac{2}{15}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{15}x$.
Từ đồ thị ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{-5}^{-2}{\left[ f(x)-g(x) \right]d\text{x}}=m\Rightarrow \int\limits_{-5}^{-2}{f(x)d\text{x}}=m+\int\limits_{-5}^{-2}{g(x)d\text{x}}$ (1).
${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left[ g(x)-f(x) \right]d\text{x}}=n\Rightarrow \int\limits_{-2}^{0}{f(x)d\text{x}}=\int\limits_{-2}^{0}{g(x)d\text{x}}-n$ (2).
${{S}_{3}}=\int\limits_{0}^{3}{\left[ f(x)-g(x) \right]d\text{x}}=p\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f(x)d\text{x}}=p+\int\limits_{0}^{3}{g(x)d\text{x}}$ (3).
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được $\int\limits_{-5}^{3}{f(x)d\text{x}}=m-n+p+\int\limits_{-5}^{3}{g(x)dx}=m-n+p+\dfrac{208}{45}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& 25\text{a}-5b+c=2 \\
& c=0 \\
& 9a+3b+c=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{15} \\
& b=\dfrac{4}{15} \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=g(x)=\dfrac{2}{15}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{15}x$.
Từ đồ thị ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{-5}^{-2}{\left[ f(x)-g(x) \right]d\text{x}}=m\Rightarrow \int\limits_{-5}^{-2}{f(x)d\text{x}}=m+\int\limits_{-5}^{-2}{g(x)d\text{x}}$ (1).
${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{\left[ g(x)-f(x) \right]d\text{x}}=n\Rightarrow \int\limits_{-2}^{0}{f(x)d\text{x}}=\int\limits_{-2}^{0}{g(x)d\text{x}}-n$ (2).
${{S}_{3}}=\int\limits_{0}^{3}{\left[ f(x)-g(x) \right]d\text{x}}=p\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f(x)d\text{x}}=p+\int\limits_{0}^{3}{g(x)d\text{x}}$ (3).
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được $\int\limits_{-5}^{3}{f(x)d\text{x}}=m-n+p+\int\limits_{-5}^{3}{g(x)dx}=m-n+p+\dfrac{208}{45}$.
Đáp án D.