Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ${{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}$, $x\in \mathbb{R}$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. $y=-x+\dfrac{6}{7}$
B. $y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{8}{7}$
C. $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}$
D. $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{8}{7}$
A. $y=-x+\dfrac{6}{7}$
B. $y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{8}{7}$
C. $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}$
D. $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{8}{7}$
Với ${{\left[ f\left( 1+2\text{x} \right) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}$ (1).
Thay $x=0$ vào (1) ta được ${{\left[ f(1) \right]}^{3}}+{{\left[ f(1) \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f(1)=0 \\
& f(1)=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đạo hàm 2 vế (1) ta được $2{{\left( 1+2x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( 1+2\text{x} \right).f\left( 1+2\text{x} \right)=1-3{{\left( 1-x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( 1-x \right).{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4.{f}'\left( 1+2\text{x} \right).f\left( 1+2\text{x} \right)=1+3.{f}'\left( 1-x \right).{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}}$, (2).
Thay $x=0$ vào (2) ta được $4.{f}'(1).f(1)=1+3{f}'(1).{{\left[ f(1) \right]}^{2}}$, (3).
+ Với $f(1)=0$ : phương trình (3) vô nghiệm.
+ Với $f(1)=-1$ : phương trình (3) $\Leftrightarrow {f}'(1)=-\dfrac{1}{7}$.
Phương trình tiếp tuyến của $y=f(x)$ tại $x=1,f(1)=-1,{f}'(1)=-\dfrac{1}{7}$ là $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}$.
Thay $x=0$ vào (1) ta được ${{\left[ f(1) \right]}^{3}}+{{\left[ f(1) \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f(1)=0 \\
& f(1)=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đạo hàm 2 vế (1) ta được $2{{\left( 1+2x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( 1+2\text{x} \right).f\left( 1+2\text{x} \right)=1-3{{\left( 1-x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( 1-x \right).{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4.{f}'\left( 1+2\text{x} \right).f\left( 1+2\text{x} \right)=1+3.{f}'\left( 1-x \right).{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}}$, (2).
Thay $x=0$ vào (2) ta được $4.{f}'(1).f(1)=1+3{f}'(1).{{\left[ f(1) \right]}^{2}}$, (3).
+ Với $f(1)=0$ : phương trình (3) vô nghiệm.
+ Với $f(1)=-1$ : phương trình (3) $\Leftrightarrow {f}'(1)=-\dfrac{1}{7}$.
Phương trình tiếp tuyến của $y=f(x)$ tại $x=1,f(1)=-1,{f}'(1)=-\dfrac{1}{7}$ là $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}$.
Đáp án C.