Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số liên tục trên và $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1,\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=6}$. Tính giá trị của tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{f(2\tan x)}{{{\cos }^{2}}x}dx}$.
A. $I=8.$
B. $I=6.$
C. $I=4.$
D. $I=2.$
A. $I=8.$
B. $I=6.$
C. $I=4.$
D. $I=2.$
Ta có $\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx=2\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=6\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=3\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=4}}}}$
Đặt $t=2\tan x\Leftrightarrow dt=\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}dx\Leftrightarrow \dfrac{dt}{2}=\dfrac{dx}{{{\cos }^{2}}x}$ và đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\to t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{4}\to t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{f(2\tan x)}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{f\left( t \right)}{2}dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\dfrac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\dfrac{1}{2}.4=2$.
Đặt $t=2\tan x\Leftrightarrow dt=\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}dx\Leftrightarrow \dfrac{dt}{2}=\dfrac{dx}{{{\cos }^{2}}x}$ và đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\to t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{4}\to t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{f(2\tan x)}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{f\left( t \right)}{2}dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\dfrac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\dfrac{1}{2}.4=2$.
Đáp án D.