Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như...

Hàm số đã cho có dạng $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'(x)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d$.
Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;0)$, $(-1;1)$, $(0;1)$, $(1;0)$ và có hai điểm cực tiểu là $(1;0)$, $(-2;0)$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{matrix}
f(0) & = & 1 \\
f(-2) & = & 0 \\
f(1) & = & 0 \\
f'(-2) & = & 0 \\
f'(1) & = & 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
e & = & 1 \\
a+b+c+d & = & -1 \\
16a-8b+4c-2d & = & -1 \\
-32a+12b-4c+d & = & 0 \\
4a+3b+2c+d & = & 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
e & = & 1 \\
a & = & \dfrac{1}{4} \\
b & = & \dfrac{1}{2} \\
c & = & \dfrac{-3}{4} \\
d & = & -1 \\
\end{matrix} \right..$
Do đó $f(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}-x+1\Rightarrow f'(x)={{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x-1.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=f'(x).$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x & = & -2 \\
x & = & -1 \\
x & = & 1 \\
x & = & 4 \\
\end{matrix}. \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y=f'(x)$ là $S=\int\limits_{-2}^{4}{\left| f(x)-{f}'(x) \right|dx}$
Vì biểu thức $f(x)-{f}'(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x+2$ không đổi đấu trên các khoảng $(-2;-1)$, $(-1;1)$, (1;4) nên ta có
$S=\left| \int_{-2}^{-1}{\left[ f(x)-f'(x) \right]dx} \right|+\left| \int_{-1}^{1}{\left[ f(x)-f'(x) \right]dx} \right|+\left| \int_{1}^{4}{\left[ f(x)-f'(x) \right]dx} \right|=\dfrac{107}{5}(dvdt).$