Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đồ thị (C)...

Phương pháp:
Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x0​; y0​) là $y=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$
Sử dụng định nghĩa đạo hàm của f(x) tại x0​ là $f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ từ đó biến đổi để tính giới hạn.
Cách giải:
Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là đường thẳng y = 3x – 3.
Nên $\left\{ \begin{aligned}
& f'(0)=3 \\
& f(0)=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=3\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(x)-3}{x}=3$
Từ đó suy ra $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(3x)-3}{3x}=3; \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(4x)-3}{4x}=3; \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{f(7x)-3}{7x}=3$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x}{f(3x)-5f(4x)+4f(7x)} \\
& =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x}{f(3x)-3-5\left( f(4x)-3 \right)+4\left( f(7x)-3 \right)} \\
& =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3}{\dfrac{f(3x)-3}{x}-5\dfrac{\left( f(4x)-3 \right)}{x}+4\dfrac{\left( f(7x)-3 \right)}{x}} \\
& =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{3}{3.\dfrac{f(3x)-3}{x}-5.4\dfrac{\left( f(4x)-3 \right)}{x}+4.7\dfrac{\left( f(7x)-3 \right)}{x}} \\
& =\dfrac{3}{3.3-5.4.3+4.7.3}=\dfrac{1}{11}. \\
\end{aligned}$