Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình bên. Hàm số $g(x)=2f\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng:
A. $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right).$
B. $\left( -2;0 \right).$
C. $\left( -3;1 \right).$
D. $\left( 1;3 \right).$
Ta có ${g}'(x)=2{f}'\left( x \right)+2\left( x+1 \right)$.
${g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-\left( x+1 \right) \left( * \right)$.
Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\left( x+1 \right)$.
Đường thẳng $y=-\left( x+1 \right)$ đi qua các điểm $\left( -3;2 \right), \left( -1;0 \right), \left( 1;-2 \right), \left( 3;4 \right)$.
Dựa vào đồ thị $\Rightarrow \left( * \right)$ có ba nghiệm $x=-3, x=1, x=3$.
Ta có bảng xét dấu
Hàm số nghịch biến $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -3<x<1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
B. $\left( -2;0 \right).$
C. $\left( -3;1 \right).$
D. $\left( 1;3 \right).$
Ta có ${g}'(x)=2{f}'\left( x \right)+2\left( x+1 \right)$.
${g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-\left( x+1 \right) \left( * \right)$.
Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\left( x+1 \right)$.
Đường thẳng $y=-\left( x+1 \right)$ đi qua các điểm $\left( -3;2 \right), \left( -1;0 \right), \left( 1;-2 \right), \left( 3;4 \right)$.
Ta có bảng xét dấu
Hàm số nghịch biến $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -3<x<1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.