Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Có ${y}'=-\left( 12{{x}^{3}}-24x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12{{x}^{5}}-12{{x}^{3}}-24x$
$\begin{aligned}
& =-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12x\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-2 \right) \\
& =-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right] \\
\end{aligned}$
Khi đó ${y}'=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{2}}-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6=-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-2\le -2,\forall x\in \mathbb{R}$
Do đó ${f}'(-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Mà ${{x}^{2}}+1\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$
Do đó phương trình vô nghiệm ${f}'(-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6)={{x}^{2}}+1$ vô nghiệm.
Hàm số $y=3f(-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Do đó hàm số $y=3f(-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ có 2 điểm cực tiểu.