Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ của phương trình $3f(2\sin x)+1=0$ là
A. 4 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 6 .
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ của phương trình $3f(2\sin x)+1=0$ là
A. 4 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 6 .
Đặt $t=2\sin x$. Vì $x\in \left[ -\pi ;\pi \right]$ nên $t\in \left[ -2;2 \right].$ Suy ra $3f(t)+1=0\Leftrightarrow f(t)=-\dfrac{1}{3}.$
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=-\dfrac{1}{3}$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( -2;0 \right)$ và ${{t}_{2}}\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra: $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)$ và $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1).$
Với $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)$ thì phương trình có 2 nghiệm $-\pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0.$
Với $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1)$ thì phương trình có 2 nghiệm $0<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}<\pi .$
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=-\dfrac{1}{3}$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( -2;0 \right)$ và ${{t}_{2}}\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra: $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)$ và $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1).$
Với $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)$ thì phương trình có 2 nghiệm $-\pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0.$
Với $\operatorname{s}\text{inx}=\dfrac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1)$ thì phương trình có 2 nghiệm $0<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}<\pi .$
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$
Đáp án A.