Cho hàm số $y= f(x)= a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d, $ $(a, b, c, d...

Dễ thấy $y= {f}'(x)$ là hàm số bậc hai và từ đồ thị hàm số $y= {f}'(x)$ ta suy ra
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'(x)= k(x+1)(x-3) \\
& {f}'(0)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=1 \Rightarrow {f}'(x)= (x+1)(x-3)$
Hay ${f}'(x)= {{x}^{2}}-2x-3$ suy ra $f(x)= \int{{f}'(x) dx= \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+C}$.
Lại có: đồ thị $(C)$ của hàm số $y= f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên hàm số $y= f(x)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}<0$, mà ${f}'(x)$ chỉ có một nghiệm âm là $-1$ suy ra ${{x}_{0}}= -1$. Khi đó ta có $f(-1)=0$. Suy ra $-\dfrac{1}{3}-1+3+C= 0 \Leftrightarrow C= -\dfrac{5}{3}.$
Vậy $y= f(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\dfrac{5}{3}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục hoành:
$\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\dfrac{5}{3}= 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.{{(x+1)}^{2}}(x-5)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó diện tích $S$ của hình phẳng tạo bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành được tính bởi công thức
$S= \int\limits_{-1}^{5}{\left| f(x) \right| dx= }\int\limits_{-1}^{5}{\left| \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x-\dfrac{5}{3} \right| dx= }$ 36.