Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+\int\limits_{0}^{1}{\left( x+u \right)f\left( u \right)}du$ có đồ thị $\left( C \right)$. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục tung, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là
A. $S=\dfrac{1}{4}$
B. $S=\dfrac{1}{3}$.
C. $S=\dfrac{2}{3}$.
D. $S=\dfrac{1}{6}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3}+\dfrac{a}{2}+b \\
& b=\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-5 \\
& b=\dfrac{-17}{6} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-5x-\dfrac{17}{6};{f}'(x)=2x-5.$
$M\left( 1;-\dfrac{41}{6} \right)\in \left( C \right); {f}'(1)=-3.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M:$ $y=-3\left( x-1 \right)-\dfrac{41}{6}=-3x-\dfrac{23}{6}.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-5x-\dfrac{17}{6}-\left( -3x-\dfrac{23}{6} \right) \right|dx=}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)dx=}\dfrac{1}{3}.$
A. $S=\dfrac{1}{4}$
B. $S=\dfrac{1}{3}$.
C. $S=\dfrac{2}{3}$.
D. $S=\dfrac{1}{6}$.
Hàm số $f\left( x \right)$ có dạng $f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$, với $a=\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}$ và $b=\int\limits_{0}^{1}{uf(u)du}.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3}+\dfrac{a}{2}+b \\
& b=\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-5 \\
& b=\dfrac{-17}{6} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}-5x-\dfrac{17}{6};{f}'(x)=2x-5.$
$M\left( 1;-\dfrac{41}{6} \right)\in \left( C \right); {f}'(1)=-3.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M:$ $y=-3\left( x-1 \right)-\dfrac{41}{6}=-3x-\dfrac{23}{6}.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-5x-\dfrac{17}{6}-\left( -3x-\dfrac{23}{6} \right) \right|dx=}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)dx=}\dfrac{1}{3}.$
Đáp án B.