Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+\int\limits_{0}^{2}{\left( x+u \right) }f\left( u \right)du$ có đồ thị $\left( C \right)$. Khi đó hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục tung, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=5$ có diện tích $S$ bằng
A. $S=\dfrac{8405}{39}$.
B. $S=\dfrac{137}{6}$.
C. $S=\dfrac{83}{3}$.
D. $S=\dfrac{125}{3}$.
A. $S=\dfrac{8405}{39}$.
B. $S=\dfrac{137}{6}$.
C. $S=\dfrac{83}{3}$.
D. $S=\dfrac{125}{3}$.
Ta có : $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+\int\limits_{0}^{2}{\left( x+u \right) }f\left( u \right)du={{x}^{2}}+x\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}du+\int\limits_{0}^{2}{u.f\left( u \right)}du$.
Đặt $A=\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}du$, $B=\int\limits_{0}^{2}{u.f\left( u \right)}du$ ta có : $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+Ax+B$.
$A=\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}+Ax+B \right)}dx=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+A\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+Bx \right) \right|_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}+2A+2B$
Suy ra : $A+2B=-\dfrac{8}{3}$ (1).
$B=\int\limits_{0}^{2}{u.f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}+A{{x}^{2}}+Bx \right)}dx=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+A\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+B\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2}=4+\dfrac{8}{3}A+2B$
Suy ra : $\dfrac{8}{3}A+B=-4$ (2).
Từ (1) và (2) ta có : $A=-\dfrac{16}{13} ; B=-\dfrac{28}{39}$
$f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{16}{13}x-\dfrac{28}{39}$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 5 là : $y=\dfrac{114}{13}x-\dfrac{1003}{39}$.
Diện tích cần tìm là : $S=\int\limits_{0}^{5}{\left| \left( {{x}^{2}}-\dfrac{16}{13}x-\dfrac{28}{39} \right)-\left( \dfrac{114}{13}x-\dfrac{1003}{39} \right) \right|}=\dfrac{125}{3}$.
Đặt $A=\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}du$, $B=\int\limits_{0}^{2}{u.f\left( u \right)}du$ ta có : $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+Ax+B$.
$A=\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}+Ax+B \right)}dx=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+A\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+Bx \right) \right|_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}+2A+2B$
Suy ra : $A+2B=-\dfrac{8}{3}$ (1).
$B=\int\limits_{0}^{2}{u.f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}+A{{x}^{2}}+Bx \right)}dx=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+A\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+B\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2}=4+\dfrac{8}{3}A+2B$
Suy ra : $\dfrac{8}{3}A+B=-4$ (2).
Từ (1) và (2) ta có : $A=-\dfrac{16}{13} ; B=-\dfrac{28}{39}$
$f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{16}{13}x-\dfrac{28}{39}$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 5 là : $y=\dfrac{114}{13}x-\dfrac{1003}{39}$.
Diện tích cần tìm là : $S=\int\limits_{0}^{5}{\left| \left( {{x}^{2}}-\dfrac{16}{13}x-\dfrac{28}{39} \right)-\left( \dfrac{114}{13}x-\dfrac{1003}{39} \right) \right|}=\dfrac{125}{3}$.
Đáp án D.