Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$. Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm $O\left( 0;0 \right)$ và cắt trục hoành tại $A\left( 3;0 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên $\left[ -5;5 \right]$ để phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có bốn nghiệm phân biệt.
A. 0.
B. 2.
C. 5.
D. 7.
B. 2.
C. 5.
D. 7.
Quan sát đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc 3 qua 0 không đổi dấu và qua 3 đổi dấu 1 lần. Nên suy ra
${f}'\left( x \right)=k.{{x}^{2}}\left( x-3 \right)\left( k<0 \right)$ (vì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $ nên $k<0$ )
Do ${f}'\left( 2 \right)=1\Rightarrow -4k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{-1}{4}\to {f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}.$
Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{-1}{16}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+e=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}\left( \dfrac{1}{4}x-1 \right)+e.$
Mà theo đề ta có phương trình
$f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e\Leftrightarrow {{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}\left( \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+m}{4}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+2x+m=0 \left( 1 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+m-4=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ lần lượt có 2 nghiệm phân biệt$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}=1+m>0 \\
& {{\Delta }_{2}}=1+m-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3.$
Mà$\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -5;5 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5 \right\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.
Bước 1: Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta thiết lập công thức của hàm số $y=f\left( x \right)$.
Bước 2: Bằng cách thay x bởi $u\left( x \right)$ trong công thức hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thu được phương trình cụ thể. Từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm.
${f}'\left( x \right)=k.{{x}^{2}}\left( x-3 \right)\left( k<0 \right)$ (vì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $ nên $k<0$ )
Do ${f}'\left( 2 \right)=1\Rightarrow -4k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{-1}{4}\to {f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}.$
Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{-1}{16}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+e=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}\left( \dfrac{1}{4}x-1 \right)+e.$
Mà theo đề ta có phương trình
$f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e\Leftrightarrow {{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}\left( \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+m}{4}-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+2x+m=0 \left( 1 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+m-4=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ lần lượt có 2 nghiệm phân biệt$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}=1+m>0 \\
& {{\Delta }_{2}}=1+m-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3.$
Mà$\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -5;5 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 4;5 \right\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.
Note 61: Phương pháp chung
Đối với những bài toán cho đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đủ để tìm hàm $y=f\left( x \right)$.Bước 1: Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta thiết lập công thức của hàm số $y=f\left( x \right)$.
Bước 2: Bằng cách thay x bởi $u\left( x \right)$ trong công thức hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thu được phương trình cụ thể. Từ đó biện luận theo tham số m số nghiệm.
Đáp án B.