Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r$, trong đó $m,n,p,q,r\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên dưới. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=16m+8n+4p+2q+r$ là
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ suy ra $y=f'\left( x \right)=4m\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}-16m{{x}^{2}}-4mx+16m$.
Từ đó suy ra $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+C$.
Vì $f\left( 0 \right)=r\Rightarrow C=r$. Do đó $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+r$.
Mà $y=f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& n=-\dfrac{16}{3}m \\
& p=-m \\
& q=16m \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình $f\left( x \right)=16m+8n+4p+2q+r$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{8}{3}m+r$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+r=-\dfrac{8}{3}m+r$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+\dfrac{8}{3}m=0$ (*)
TH1: nếu $m=0$ phương trình (*) luôn đúng với mọi $x$. Từ các đáp án suy ra trường hợp này loại.
TH2: nếu $m\ne 0$
$\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+16x+\dfrac{8}{3}=0$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-16{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+48x+8=0$.
Sử dụng máy tính suy ra phương trình có 4 nghiệm.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ suy ra $y=f'\left( x \right)=4m\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}-16m{{x}^{2}}-4mx+16m$.
Từ đó suy ra $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+C$.
Vì $f\left( 0 \right)=r\Rightarrow C=r$. Do đó $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+r$.
Mà $y=f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& n=-\dfrac{16}{3}m \\
& p=-m \\
& q=16m \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình $f\left( x \right)=16m+8n+4p+2q+r$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{8}{3}m+r$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+r=-\dfrac{8}{3}m+r$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{16m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+16mx+\dfrac{8}{3}m=0$ (*)
TH1: nếu $m=0$ phương trình (*) luôn đúng với mọi $x$. Từ các đáp án suy ra trường hợp này loại.
TH2: nếu $m\ne 0$
$\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+16x+\dfrac{8}{3}=0$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-16{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+48x+8=0$.
Sử dụng máy tính suy ra phương trình có 4 nghiệm.
Đáp án A.