Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m\in \left( -20;20 \right)$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{m{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}{20}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. 6.
B. 7.
C. 17.
D. 18.
A. 6.
B. 7.
C. 17.
D. 18.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{m{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}{20}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Có ${g}'\left( x \right)={{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{m}{20}.2\left( {{x}^{2}}+4 \right).{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{mx\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{5}$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thì
${g}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-m.\dfrac{x\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{5}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}\left( * \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{2x.x-\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}};{h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}\ge 4,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Nhận xét giá trị $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}$ phụ thuộc vào $m$.
Nếu $m\ge 0$ thì $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}.\dfrac{4m}{15}\ge 4.\dfrac{4m}{15}=\dfrac{16m}{15}$ nên không tồn tại $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}$.
Còn nếu $m<0$ thì $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}.\dfrac{4m}{15}\le 4.\dfrac{4m}{15}=\dfrac{16m}{15}$ và khi đó $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}=\dfrac{16m}{5}$.
Dấu "=" xảy ra tại $x=2$.
Mặt khác, quan sát đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta thấy ${f}'\left( x \right)\ge -3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Dấu "=" xảy ra tại $x=2$.
Khi đó ${f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge -3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ hay $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)=-3$ khi $\dfrac{{{x}^{3}}}{4}=2\Leftrightarrow x=2$.
Vậy với $m<0$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow -3\ge \dfrac{16m}{15}\Leftrightarrow m\le -\dfrac{45}{16}$. Kết hợp với $m$ nguyên thuộc $\left( -20;20 \right)$ ta được $m\in \left\{ -19;-18;...;-4;-3 \right\}$.
Có ${g}'\left( x \right)={{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{m}{20}.2\left( {{x}^{2}}+4 \right).{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-\dfrac{mx\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{5}$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thì
${g}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}.{f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)-m.\dfrac{x\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{5}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}\left( * \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{2x.x-\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}};{h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}\ge 4,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Nhận xét giá trị $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}$ phụ thuộc vào $m$.
Nếu $m\ge 0$ thì $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}.\dfrac{4m}{15}\ge 4.\dfrac{4m}{15}=\dfrac{16m}{15}$ nên không tồn tại $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}$.
Còn nếu $m<0$ thì $\dfrac{{{x}^{2}}+4}{x}.\dfrac{4m}{15}\le 4.\dfrac{4m}{15}=\dfrac{16m}{15}$ và khi đó $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \dfrac{4m\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{15x}=\dfrac{16m}{5}$.
Dấu "=" xảy ra tại $x=2$.
Mặt khác, quan sát đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ ta thấy ${f}'\left( x \right)\ge -3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Dấu "=" xảy ra tại $x=2$.
Khi đó ${f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)\ge -3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ hay $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} {f}'\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{4} \right)=-3$ khi $\dfrac{{{x}^{3}}}{4}=2\Leftrightarrow x=2$.
Vậy với $m<0$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow -3\ge \dfrac{16m}{15}\Leftrightarrow m\le -\dfrac{45}{16}$. Kết hợp với $m$ nguyên thuộc $\left( -20;20 \right)$ ta được $m\in \left\{ -19;-18;...;-4;-3 \right\}$.
Đáp án C.