Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${{\left[ f\left( 1+2\text{x} \right) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{3}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1.
A. $y=-x+\dfrac{6}{7}.$
B. $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{8}{7}.$
C. $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}.$
D. $y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{8}{7}.$
A. $y=-x+\dfrac{6}{7}.$
B. $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{8}{7}.$
C. $y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}.$
D. $y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{8}{7}.$
Lấy đjao hàm hai vế ${{\left[ f\left( 1+2x \right) \right]}^{2}}=x-\ge {{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}$
ta được $4{f}'\left( 1+2x \right).f\left( 1+2x \right)=1+3{f}'\left( 1-x \right).{{\left( f\left( 1-x \right) \right)}^{2}}.$
Với x = 0, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 1 \right)=0-{{f}^{3}}\left( 1 \right) \\
& 4{f}'\left( 1 \right).f\left( 1 \right)=1+3{f}'\left( 1 \right).{{f}^{2}}\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=-1 \\
& {f}'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{7} \\
\end{aligned} \right..$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 là $y={f}'\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}.$
ta được $4{f}'\left( 1+2x \right).f\left( 1+2x \right)=1+3{f}'\left( 1-x \right).{{\left( f\left( 1-x \right) \right)}^{2}}.$
Với x = 0, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 1 \right)=0-{{f}^{3}}\left( 1 \right) \\
& 4{f}'\left( 1 \right).f\left( 1 \right)=1+3{f}'\left( 1 \right).{{f}^{2}}\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=-1 \\
& {f}'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{7} \\
\end{aligned} \right..$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 là $y={f}'\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{7}x-\dfrac{6}{7}.$
Đáp án C.