Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
A. 4041.
B. 2019.
C. 2010.
D. 2021.
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ để phương trình ${{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)=\left( 12{{m}^{2}}+7 \right)\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+36{{m}^{2}}+7$ có hai nghiệm phân biệt?A. 4041.
B. 2019.
C. 2010.
D. 2021.
Ta có ${{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)=\left( 12{{m}^{2}}+7 \right)\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+36{{m}^{2}}+7$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)=\left[ {{\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1} \right)}^{3}}+3\left( 12{{m}^{2}}+1 \right)+3\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right]+3\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)={{\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)}^{3}}+3\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)(1)$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+3t,t\in \mathbb{R}.$
Suy ra ${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+3>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Phương trình (1) trở thành:
$g\left[ mf\left( x \right) \right]=g\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)\Leftrightarrow mf\left( x \right)=\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1$
-Với $m=0$ không thỏa mãn
-Với $m\ne 0,$ ta có $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}.$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}=-4\left( 1 \right) \\
& \dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}>2\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+Trường hợp 1:
$\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}=-4\Leftrightarrow \sqrt{12{{m}^{2}}+1}=-1-4m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1-4m>0 \\
& 12{{m}^{2}}+1=1+8m+16{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2.$
+Trường hợp 2:
$\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}>2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \sqrt{12{{m}^{2}}+1}>2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2} \\
& 12{{m}^{2}}+1>4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}.$
Vì m nguyên và $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ nên có 2021 giá trị thỏa mãn.
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)=\left[ {{\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1} \right)}^{3}}+3\left( 12{{m}^{2}}+1 \right)+3\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right]+3\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}{{f}^{3}}\left( x \right)+3mf\left( x \right)={{\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)}^{3}}+3\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)(1)$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+3t,t\in \mathbb{R}.$
Suy ra ${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+3>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Phương trình (1) trở thành:
$g\left[ mf\left( x \right) \right]=g\left( \sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1 \right)\Leftrightarrow mf\left( x \right)=\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1$
-Với $m=0$ không thỏa mãn
-Với $m\ne 0,$ ta có $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}.$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}=-4\left( 1 \right) \\
& \dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}>2\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+Trường hợp 1:
$\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}=-4\Leftrightarrow \sqrt{12{{m}^{2}}+1}=-1-4m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1-4m>0 \\
& 12{{m}^{2}}+1=1+8m+16{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2.$
+Trường hợp 2:
$\dfrac{\sqrt{12{{m}^{2}}+1}+1}{m}>2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \sqrt{12{{m}^{2}}+1}>2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2} \\
& 12{{m}^{2}}+1>4{{m}^{2}}-4m+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}.$
Vì m nguyên và $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ nên có 2021 giá trị thỏa mãn.
Đáp án D.