Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có...

Ta có $g(x)=2f(|x-1|)+x^2-2x-2|x-1|+2022$
$\iff g(x)=2f\left(\sqrt{{(x-1)}^2}\right)+x^2-2x-2\sqrt{{(x-1)}^2}+2022$
$\Rightarrow g^{\prime }(x)=2{\displaystyle \frac{x-1}{|x-1|}}[f^{\prime }\left(|x-1|\right)+|x-1|-1],\mathrm{\forall }x\ne 1.$
$\iff g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }\left(|x-1|\right)=-|x-1|+1$
Đặt $t=|x-1|,t\ge 0$ ta được phương trình $f^{\prime }\left(t\right)=-t+1$ (1)
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(t\right)$ và đường thẳng $y=-t+1$.
Vì $t\ge 0$ nên $f^{\prime }\left(t\right)=-t+1\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=3\end{array}$$\Rightarrow [\begin{array}{rl}& |x-1|=1\\ & |x-1|=3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\\ & x=-2\\ & x=4\end{array}$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.