Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${{f}^{2}}\left( -x \right)=\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right).f\left( x+2 \right)$ và $f\left( x \right)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ là
A. $y=-2x+4$.
B. $y=2x+4$.
C. $y=2x$.
D. $y=4x+4$.
A. $y=-2x+4$.
B. $y=2x+4$.
C. $y=2x$.
D. $y=4x+4$.
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ là $y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+f\left( 2 \right)$
Ta cần tính $f\left( 2 \right)$ và ${f}'\left( 2 \right)$
Thay lần lượt $x=0,x=-2$ vào đẳng thức giả thiết có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4f\left( 2 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện $f\left( x \right)\ne 0,\forall x$ nhận $f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=4$.
Đạo hàm hai vế của đẳng thức có: $2f\left( -x \right)\left[ -{f}'\left( -x \right) \right]=\left( 2x+2 \right)f\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right){f}'\left( x+2 \right)$.
Đẳng thức này thay lần lượt $x=0,x=-2$
$\left\{ \begin{aligned}
& -2f\left( 0 \right){f}'\left( 0 \right)=2f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -2f\left( 2 \right){f}'\left( 2 \right)=-2f\left( 0 \right)+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -8{f}'\left( 0 \right)=8+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -8{f}'\left( 2 \right)=-8+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=2\left( x-2 \right)+4=2x$.
Ta cần tính $f\left( 2 \right)$ và ${f}'\left( 2 \right)$
Thay lần lượt $x=0,x=-2$ vào đẳng thức giả thiết có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4f\left( 2 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện $f\left( x \right)\ne 0,\forall x$ nhận $f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=4$.
Đạo hàm hai vế của đẳng thức có: $2f\left( -x \right)\left[ -{f}'\left( -x \right) \right]=\left( 2x+2 \right)f\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right){f}'\left( x+2 \right)$.
Đẳng thức này thay lần lượt $x=0,x=-2$
$\left\{ \begin{aligned}
& -2f\left( 0 \right){f}'\left( 0 \right)=2f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -2f\left( 2 \right){f}'\left( 2 \right)=-2f\left( 0 \right)+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -8{f}'\left( 0 \right)=8+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -8{f}'\left( 2 \right)=-8+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=2\left( x-2 \right)+4=2x$.
Đáp án C.