Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
${{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{3}}=8x-{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Tiếp tuyến của đổ thị hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=1$ có phương trình là
A. $y=2x-1$
B. $y=-x+3$
C. $y=x-2$
D. $y=3x-11$
${{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{3}}=8x-{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Tiếp tuyến của đổ thị hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=1$ có phương trình là
A. $y=2x-1$
B. $y=-x+3$
C. $y=x-2$
D. $y=3x-11$
HD: Xét phương trình ${{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{3}}=8x-{{\left[ f\left( 1-x \right) \right]}^{2}}\left( 1 \right)$
Thay $x=0$ vào (1), ta được ${{f}^{3}}\left( 1 \right)=-{{f}^{2}}\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( 1 \right)+{{f}^{2}}\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác, lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được
$\begin{aligned}
& 3{{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{2}}.f'\left( 2x+1 \right).2=8-2f\left( 1-x \right)f'\left( 1-x \right)\left( -1 \right) \\
& \Leftrightarrow 6{{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{2}}.f'\left( 2x+1 \right)=8+2f\left( 1-x \right)f'\left( 1-x \right)\left( 2 \right) \\
\end{aligned}$
Thay $x=0$ vào (2) ta được $6{{f}^{2}}\left( 1 \right).f\left( 1 \right)=8+2f\left( 1 \right).f'\left( 1 \right)\left( * \right)$
Với $f\left( 1 \right)=0$ thì (*) vô nghiệm.
Với $f\left( 1 \right)=-1$ thì (*) $\left( * \right)\Leftrightarrow 6f'\left( 1 \right)=8-2f'\left( 1 \right)\Leftrightarrow f'\left( 1 \right)=1.$
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: $y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)=x-2.$
Thay $x=0$ vào (1), ta được ${{f}^{3}}\left( 1 \right)=-{{f}^{2}}\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( 1 \right)+{{f}^{2}}\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác, lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được
$\begin{aligned}
& 3{{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{2}}.f'\left( 2x+1 \right).2=8-2f\left( 1-x \right)f'\left( 1-x \right)\left( -1 \right) \\
& \Leftrightarrow 6{{\left[ f\left( 2x+1 \right) \right]}^{2}}.f'\left( 2x+1 \right)=8+2f\left( 1-x \right)f'\left( 1-x \right)\left( 2 \right) \\
\end{aligned}$
Thay $x=0$ vào (2) ta được $6{{f}^{2}}\left( 1 \right).f\left( 1 \right)=8+2f\left( 1 \right).f'\left( 1 \right)\left( * \right)$
Với $f\left( 1 \right)=0$ thì (*) vô nghiệm.
Với $f\left( 1 \right)=-1$ thì (*) $\left( * \right)\Leftrightarrow 6f'\left( 1 \right)=8-2f'\left( 1 \right)\Leftrightarrow f'\left( 1 \right)=1.$
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: $y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)=x-2.$
Đáp án C.