Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$. Tập cả các giá trị thực của tham số $m$ để bpt $f\left( x \right)\le m$ với mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ là
A. $\left[ \sqrt{2};+\infty \right]$
B. $\left( -\infty ;0 \right)$
C. $\left\{ \sqrt{2} \right\}$
D. $\left( -\infty ;\sqrt{2} \right)$
A. $\left[ \sqrt{2};+\infty \right]$
B. $\left( -\infty ;0 \right)$
C. $\left\{ \sqrt{2} \right\}$
D. $\left( -\infty ;\sqrt{2} \right)$
Hàm số $y=f\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}-x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 1-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Ta có $f\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2};\left( {{P}'} \right)$ và $f\left( 1 \right)=1$
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\sqrt{2}$ khi $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1$ khi $x=-1$
Do đó, $f\left( x \right)\le m$ với mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ khi và chỉ khi $m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge \sqrt{2}$
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}-x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 1-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Ta có $f\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2};\left( {{P}'} \right)$ và $f\left( 1 \right)=1$
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\sqrt{2}$ khi $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1$ khi $x=-1$
Do đó, $f\left( x \right)\le m$ với mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ khi và chỉ khi $m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge \sqrt{2}$
Đáp án A.