Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số ${f}'\left( x \right)$ có đồ thị được cho trong hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ -2019;2019 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{2019}^{x}} \right)-mx+2$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$ ?
A. 2028.
B. 2019.
C. 2011.
D. 2020.
A. 2028.
B. 2019.
C. 2011.
D. 2020.
Ta có ${g}'\left( x \right)={{2019}^{x}}\ln 2019.{f}'\left( {{2019}^{x}} \right)-m$
Ta lại có hàm số $y={{2019}^{x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì ${{2019}^{x}}\in \left[ 1;2019 \right]$ mà hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ nên hàm số $y={f}'\left( {{2019}^{x}} \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Mà ${{2019}^{x}}>0;{f}'\left( {{2019}^{x}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ nên hàm $h\left( x \right)={{2019}^{x}}\ln 2019.{f}'\left( {{2019}^{x}} \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$ hay $h\left( x \right)\ge h\left( 0 \right)=0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$.
Do vậy, hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\le {{2019}^{x}}.2019.{f}'\left( {{2019}^{x}} \right),\forall x\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow m\le 0$.
Vậy $m\le 0$.
Ta lại có hàm số $y={{2019}^{x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Với $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì ${{2019}^{x}}\in \left[ 1;2019 \right]$ mà hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ nên hàm số $y={f}'\left( {{2019}^{x}} \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Mà ${{2019}^{x}}>0;{f}'\left( {{2019}^{x}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ nên hàm $h\left( x \right)={{2019}^{x}}\ln 2019.{f}'\left( {{2019}^{x}} \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$ hay $h\left( x \right)\ge h\left( 0 \right)=0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$.
Do vậy, hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\le {{2019}^{x}}.2019.{f}'\left( {{2019}^{x}} \right),\forall x\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow m\le 0$.
Vậy $m\le 0$.
Đáp án D.