Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và thỏa mãn các điều kiện $3.f\left( 2x \right)+2.f\left( \dfrac{3}{x} \right)=\dfrac{14x}{3}$, $\int\limits_{3}^{6}{f\left( x \right)\text{d}x}=k$. Tính $I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{x} \right)\text{d}x}$ theo $k$
A. $I=\dfrac{21-k}{2}$.
B. $I=\dfrac{42-3k}{4}$.
C. $I=\dfrac{42-k}{4}$.
D. $I=\dfrac{21-k}{4}$.
A. $I=\dfrac{21-k}{2}$.
B. $I=\dfrac{42-3k}{4}$.
C. $I=\dfrac{42-k}{4}$.
D. $I=\dfrac{21-k}{4}$.
Ta có: $3.f\left( 2x \right)+2.f\left( \dfrac{3}{x} \right)=\dfrac{14x}{3}$
$\Rightarrow \int\limits_{3}^{6}{3f\left( 2x \right)\text{d}x}+\int\limits_{3}^{6}{2f\left( \dfrac{3}{x} \right)\text{d}x}=\int\limits_{3}^{6}{\dfrac{14x}{3}\text{d}x}\Leftrightarrow A+B=63$
Đặt $A=\int\limits_{3}^{6}{3f\left( 2x \right)\text{d}x},t=2x\Rightarrow A=\dfrac{3}{2}\int\limits_{6}^{12}{f\left( t \right)\text{dt}}=\dfrac{3}{2}k.$
$B=\int\limits_{3}^{6}{2f\left( \dfrac{3}{x} \right)\text{d}x},t=\dfrac{x}{3}\Rightarrow B=6\int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}$
Vì $A+B=63\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}k+6\int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}=63\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}=\dfrac{63-\dfrac{3}{2}k}{6}=\dfrac{42-k}{4}.$
$\Rightarrow \int\limits_{3}^{6}{3f\left( 2x \right)\text{d}x}+\int\limits_{3}^{6}{2f\left( \dfrac{3}{x} \right)\text{d}x}=\int\limits_{3}^{6}{\dfrac{14x}{3}\text{d}x}\Leftrightarrow A+B=63$
Đặt $A=\int\limits_{3}^{6}{3f\left( 2x \right)\text{d}x},t=2x\Rightarrow A=\dfrac{3}{2}\int\limits_{6}^{12}{f\left( t \right)\text{dt}}=\dfrac{3}{2}k.$
$B=\int\limits_{3}^{6}{2f\left( \dfrac{3}{x} \right)\text{d}x},t=\dfrac{x}{3}\Rightarrow B=6\int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}$
Vì $A+B=63\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}k+6\int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}=63\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( \dfrac{1}{t} \right)\text{dt}}=\dfrac{63-\dfrac{3}{2}k}{6}=\dfrac{42-k}{4}.$
Đáp án C.