Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_{0}^{2}{f\left( {{x}^{2}} \right)xdx}=1.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)xdx}?$
A. $I=1.$
B. $I=\dfrac{1}{2}.$
C. $I=2.$
D. $I=4.$
A. $I=1.$
B. $I=\dfrac{1}{2}.$
C. $I=2.$
D. $I=4.$
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0,x=2\Rightarrow t=4.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( {{x}^{2}} \right)xdx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.}$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=2}$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( {{x}^{2}} \right)xdx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.}$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=2}$
Đáp án C.