Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm?
A. 4.
B. 5.
C. Vô số.
D. 3.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm?
A. 4.
B. 5.
C. Vô số.
D. 3.
Phương pháp:
Đặt $\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t$, biến đổi đưa về $a\sin x+b\cos x=c$, phương trình này có nghiệm khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ từ đó ta tìm được điều kiện của t.
Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=f\left( \left| t \right| \right)$
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho
Chú ý rằng nếu hàm $f\left( t \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $\left( a;b \right)$ thì phương trình $f\left( u \right)=f\left( v \right)$ nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên $\left( a;b \right)\Leftrightarrow u=v$
Cách giải:
Vì $-1\le \operatorname{sinx}\le 1; -1\le \cos x\le 1$ nên $2\cos x-\operatorname{sinx}>-3\Rightarrow 2\cos x-\operatorname{sinx}+4>0$
Đặt $\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t\Leftrightarrow 3\sin x-\cos x-1=t\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)$
$\Leftrightarrow \cos x\left( 2t+1 \right)-\sin x\left( t+3 \right)=-4t-1$
Phương trình trên có nghiệm khi ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( -4t-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}+10t+10\ge 16{{t}^{2}}+8t+1\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}-2t-9\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1\Rightarrow 0\le \left| t \right|\le 1$
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$
Nên phương trình $f\left( x \right)=f\left( \left| t \right| \right)$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$ có nghiệm duy nhất khi $x=\left| t \right|\Rightarrow x\ge 0$
Do đó phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm
$\Leftrightarrow \left| t \right|={{m}^{2}}+4m+4$ có nghiệm với $0\le \left| t \right|\le 1$
$\Leftrightarrow 0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
Đặt $\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t$, biến đổi đưa về $a\sin x+b\cos x=c$, phương trình này có nghiệm khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ từ đó ta tìm được điều kiện của t.
Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=f\left( \left| t \right| \right)$
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho
Chú ý rằng nếu hàm $f\left( t \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $\left( a;b \right)$ thì phương trình $f\left( u \right)=f\left( v \right)$ nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên $\left( a;b \right)\Leftrightarrow u=v$
Cách giải:
Vì $-1\le \operatorname{sinx}\le 1; -1\le \cos x\le 1$ nên $2\cos x-\operatorname{sinx}>-3\Rightarrow 2\cos x-\operatorname{sinx}+4>0$
Đặt $\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t\Leftrightarrow 3\sin x-\cos x-1=t\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)$
$\Leftrightarrow \cos x\left( 2t+1 \right)-\sin x\left( t+3 \right)=-4t-1$
Phương trình trên có nghiệm khi ${{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}\ge {{\left( -4t-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}+10t+10\ge 16{{t}^{2}}+8t+1\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}-2t-9\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le t\le 1\Rightarrow 0\le \left| t \right|\le 1$
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$
Nên phương trình $f\left( x \right)=f\left( \left| t \right| \right)$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$ có nghiệm duy nhất khi $x=\left| t \right|\Rightarrow x\ge 0$
Do đó phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm
$\Leftrightarrow \left| t \right|={{m}^{2}}+4m+4$ có nghiệm với $0\le \left| t \right|\le 1$
$\Leftrightarrow 0\le {{m}^{2}}+4m+4\le 1\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án D.