Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+m \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ -2019;2019 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ ?
A. 2010.
B. 2012.
C. 2011.
D. 2009.
A. 2010.
B. 2012.
C. 2011.
D. 2009.
Phương pháp:
Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ nếu ${g}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
Cách giải:
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-f\left( 1-x \right)=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 1-x-2 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}-6\left( 1-x \right)+m \right]$
$=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( -1-x \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+m-5\ge 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ (do $x+1<0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ )
$\Leftrightarrow h\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5\ge m, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow -m\le \underset{\left( -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)$
Ta có ${h}'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$
BBT:
Dựa vào BBT ta có $-m\le -9\Leftrightarrow m\ge 9$
Mà $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ mà m nguyên nên $m\in \left[ 9;10;11;...;2019 \right]$ hay có $2019-9+1=2011$ giá trị của m thỏa mãn.
Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ nếu ${g}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
Cách giải:
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-f\left( 1-x \right)=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 1-x-2 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}-6\left( 1-x \right)+m \right]$
$=-{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( -1-x \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+m-5 \right)\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+m-5\ge 0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ (do $x+1<0, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$ )
$\Leftrightarrow h\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5\ge m, \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow -m\le \underset{\left( -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)$
Ta có ${h}'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$
BBT:
Dựa vào BBT ta có $-m\le -9\Leftrightarrow m\ge 9$
Mà $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ mà m nguyên nên $m\in \left[ 9;10;11;...;2019 \right]$ hay có $2019-9+1=2011$ giá trị của m thỏa mãn.
Đáp án C.