Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Ta có ${g}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2x+1-\left| x-1 \right| \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}-2x+1-\left| x-1 \right| \right)$
$=\left[ 2\left( x-1 \right)-\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|} \right].{f}'\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-\left| x-1 \right| \right];$
$=\left( x-1 \right).\left( 2-\dfrac{1}{\left| x-1 \right|} \right).{f}'\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-\left| x-1 \right| \right),$ với $x\ne 1;$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=0 \\
& 2-\dfrac{1}{\left| x-1 \right|}=0 \\
& {f}'\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-\left| x-1 \right| \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\left( L \right) \\
& \left| x-1 \right|=\dfrac{1}{2} \\
& {{\left| x-1 \right|}^{2}}-\left| x-1 \right|=-1 \\
& {{\left| x-1 \right|}^{2}}-\left| x-1 \right|=0 \\
& {{\left| x-1 \right|}^{2}}-\left| x-1 \right|=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{2} \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
& \left| x-1 \right|=1 \\
& \left| x-1 \right|=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{2} \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
& x=2 \\
& x=0 \\
& x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \\
& x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$ (đây đều là các nghiệm đơn).
Nhận xét ${g}'\left( -1 \right)=-3.{f}'\left( 2 \right)<0$ ; ${g}'\left( \dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{1}{2}.{f}'\left( -\dfrac{3}{16} \right)>0$ ; $g\left( \dfrac{5}{4} \right)=-\dfrac{1}{2}.{f}'\left( -\dfrac{3}{16} \right)<0$.
Ta có bảng biến thiên dưới đây:
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có 7 điểm cực trị.