Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Đặt $y=g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$
Ta có ${g}'\left( x \right)={{\left( f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}={f}'\left( x \right)-2x+2\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=2x-2$
Số nghiệm của phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $\left( \Delta \right):y=2x-2$ (như hình vẽ bên)
Dựa vào đồ thị ta thấy ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Dấu của ${g}'\left( x \right)$ trên khoảng $\left( a;b \right)$ được xác định như sau:
Nếu trên khoảng $\left( a;b \right)$ đồ thị hàm ${f}'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng $\left( \Delta \right):y=2x-2$ thì ${g}'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left( a;b \right)$
Nếu trên khoảng $\left( a;b \right)$ đồ thị hàm ${f}'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng $\left( \Delta \right):y=2x-2$ thì ${g}'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( a;b \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy trên $\left( -1;1 \right)$ đồ thị hàm ${f}'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng $\left( \Delta \right):y=2x-2$ nên ${g}'\left( x \right)\le 0\forall x\in \left( -1;1 \right)$
Do đó hàm số $y=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ mà $\left( 0;1 \right)\subset \left( -1;1 \right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$