Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$ có nghiệm?
A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 3
A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 3
Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$, liên tục và đồng biến trên $\left[ 0; +\infty \right)$ nên
$f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\Leftrightarrow \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right|={{\left( m+2 \right)}^{2}}$ (*)
Xét $a=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}$, điều kiện $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó:
$a\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)=3\sin x-\cos x-1\Leftrightarrow \left( a+3 \right)\sin x-\left( 2a+1 \right)\cos x=4a+1$ (1)
Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4a+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le a\le 1$.
Suy ra $0\le \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right|\le 1$
Do đó phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 0\le {{\left( m+2 \right)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3; -2; -1 \right\}$.
$f\left( \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right| \right)=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)\Leftrightarrow \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right|={{\left( m+2 \right)}^{2}}$ (*)
Xét $a=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}$, điều kiện $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó:
$a\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)=3\sin x-\cos x-1\Leftrightarrow \left( a+3 \right)\sin x-\left( 2a+1 \right)\cos x=4a+1$ (1)
Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 4a+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -\dfrac{9}{11}\le a\le 1$.
Suy ra $0\le \left| \dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4} \right|\le 1$
Do đó phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 0\le {{\left( m+2 \right)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow -3\le m\le -1$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3; -2; -1 \right\}$.
Đáp án D.