Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+m}{\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi $m={{m}_{0}}$. Giá trị ${{m}_{0}}$ gần nhất là
A. 2.
B. 5.
C. 10.
D. 8.
A. 2.
B. 5.
C. 10.
D. 8.
Ta có: $\dfrac{{{m}^{3}}+m}{\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2\Leftrightarrow {{m}^{3}}+m=\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+2 \right]\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+m={{\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1} \right)}^{3}}+\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\left( * \right)$
Xét hàm số $F\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow {F}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow F\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow F\left( m \right)=F\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1} \right)\Leftrightarrow \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}=m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{m}^{2}}={{f}^{2}}\left( x \right)+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& f\left( x \right)=\pm \sqrt{{{m}^{2}}-1} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
TH1: Với $m=1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
TH2: Với $m>1$ thì phương trình $f\left( x \right)=-\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ có một nghiệm, để (*) có 3 nghiệm thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-1}=5\Leftrightarrow {{m}^{2}}=26\xrightarrow{m>1}m=\sqrt{26}$.
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+m={{\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1} \right)}^{3}}+\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\left( * \right)$
Xét hàm số $F\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow {F}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow F\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow F\left( m \right)=F\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1} \right)\Leftrightarrow \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}=m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{m}^{2}}={{f}^{2}}\left( x \right)+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& f\left( x \right)=\pm \sqrt{{{m}^{2}}-1} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
TH1: Với $m=1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
TH2: Với $m>1$ thì phương trình $f\left( x \right)=-\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ có một nghiệm, để (*) có 3 nghiệm thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-1}=5\Leftrightarrow {{m}^{2}}=26\xrightarrow{m>1}m=\sqrt{26}$.
Đáp án B.