Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${f}'\left( x \right)-f\left( x \right)=-8+16x-4{{x}^{2}}$ và $f\left( 0 \right)=0$. Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục $Ox$ quay quanh $Ox$ bằng.
A. $\dfrac{16}{3}\pi $.
B. $\dfrac{256}{15}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{256}{15}\pi $.
A. $\dfrac{16}{3}\pi $.
B. $\dfrac{256}{15}$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{256}{15}\pi $.
Ta có: ${f}'\left( x \right)-f\left( x \right)=-8+16x-4{{x}^{2}}$
$ \Leftrightarrow {{e}^{-x}}{f}'\left( x \right)-{{e}^{-x}}f\left( x \right)={{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-x}} \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-x}}=\int{{{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)}=\left( 4{{x}^{2}}-8x \right){{e}^{-x}}+C$
$ \Rightarrow f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x+C{{e}^{x}}$.
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x$ và trục hoành: $4{{x}^{2}}-8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục $Ox$ quay quanh $Ox$ : $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 4{{x}^{2}}-8x \right)}^{2}}\text{d}x=\dfrac{256}{15}\pi }.$
$ \Leftrightarrow {{e}^{-x}}{f}'\left( x \right)-{{e}^{-x}}f\left( x \right)={{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-x}} \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-x}}=\int{{{e}^{-x}}\left( -8+16x-4{{x}^{2}} \right)}=\left( 4{{x}^{2}}-8x \right){{e}^{-x}}+C$
$ \Rightarrow f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x+C{{e}^{x}}$.
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-8x$ và trục hoành: $4{{x}^{2}}-8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục $Ox$ quay quanh $Ox$ : $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 4{{x}^{2}}-8x \right)}^{2}}\text{d}x=\dfrac{256}{15}\pi }.$
Đáp án D.